Dans le cadre de cette thèse, trois modèles ont été étudiés indépendamment. Ils ont en commun d'être des modèles aléatoires définis dans le plan et possédant une propriété de stationnarité bidimensionnelle.

Le premier est le modèle de Hammersley stationnaire dans le quart de plan, introduit et étudié par Cator et Groeneboom, qui peut être vu comme un modèle de percolation de dernier passage avec sources et puits. Ils ont montré la célèbre asymptotique d'ordre racine cubique pour la fluctuation du temps de passage dans le régime critique. Ici, nous étudions au contraire le cas non critique et prouvons de manière analogue par des arguments probabilistes les fluctuations gaussiennes de la longueur du plus long chemin dans ce régime. Cela retrouve des résultats obtenus par Baik et Rains avec des arguments analytiques.

Le second modèle est un problème d'optimisation qui peut être vu comme une modification stationnaire du problème d'O'Connell-Yor. Pour prouver la stationnarité de ce modèle, nous introduisons un système de lignes de Hammersley qui est discret en espace et continu en temps, et prouvons qu'il est stationnaire dans les deux directions. En rééchelonnant ce système pour transformer entre autres les processus de Poisson en des mouvements browniens, nous prouvons la stationnarité de notre modèle original. Cette stationnarité permet d'écrire la solution du problème d'optimisation comme une somme de deux variables aléatoires (corrélées) de loi normale et Gamma respectivement. Ce résultat, associé à une propriété de concentration de l'optimiseur, permet de retrouver la célèbre asymptotique du premier ordre $2n^{1/2}$ de la plus grande valeur propre d'une matrice GUE $n \times n$.

Enfin, le troisième modèle est une classe générale de systèmes aléatoires de lignes brisées dans le quart de plan, dont on prouve que la loi est invariante par translation. Cette invariance découle d'une propriété de réversibilité du modèle. Cette classe contient de nombreux processus classiques, comme les processus de lignes brisées de Hammersley impliqués dans la théorie de la percolation du dernier passage ou comme le modèle à six sommets pour certains jeux de paramètres. La nouveauté ici est qu'un poids est associé à chaque ligne. Les lignes sont initialement générées par un processus ponctuel de Poisson et leur évolution (virage, séparation, croisement) est régie par une dynamique markovienne qui préserve la loi des nœuds de Kirchhoff pour le poids des lignes à chaque intersection. Nous obtenons notamment de nouvelles mesures invariantes explicites pour certains modèles balistiques ainsi que de nouvelles propriétés de réversibilité pour certains modèles à six sommets avec un champ électromagnétique externe.