Thèse Topologie et dynamique

Géométrie, dynamique et rigidité de groupes d'automorphismes de produits libres

04
juil. 2022
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Intervenant : GUERCH Yassine
Directeur : PAULIN Frédéric / HORBEZ Camille
Heure : 14h00
Lieu : Amphithéâtre Yoccoz

Dans cette thèse, nous étudions des résultats de rigidité de groupes d'automorphismes de certains groupes hyperboliques au sens de Gromov.

La première partie de la thèse est consacrée à l'étude du groupe $\mathrm{Out}(W_n)$ des automorphismes extérieurs d'un groupe de Coxeter universel de rang $n$, produit libre de $n$ copies d'un groupe cyclique d'ordre $2$. Nous montrons que tout isomorphisme entre sous-groupes d'indices fini de $\mathrm{Out}(W_n)$ est induit par une conjugaison globale par un élément de $\mathrm{Out}(W_n)$.

Dans une deuxième partie, nous étudions le groupe $\mathrm{Out}(F_n)$ des automorphismes extérieurs d'un groupe libre non abélien de rang $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $\mathrm{Out}(F_n)$. Nous étudions l'existence d'éléments génériques dans $H$ au sens suivant. Un élément $f$ de $H$ est dit générique si, pour toute classe de conjugaison $c$ d'éléments de $F_n$, nous avons la propriété suivante : il existe un polynôme $P$ à coefficients dans $\mathbb{R}$ tel que la longueur de $f^n(c)$ est équivalente à $P(n)$ si, et seulement si, pour pour tout élément $h$ de $H$, il existe un polynôme $Q_h$ à coefficients dans $\mathbb{R}$ tel que la longueur de $h^n(c)$ est équivalente à $Q_h(n)$.

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