Dans cette thèse, nous nous intéressons au théorème de Hilbert-Samuel arithmétique. Ce théorème est issu de la théorie de l’intersection arithmétique. Il est l’analogue en géométrie d’Arakelov du théorème éponyme en géométrie algébrique. Nous montrons dans cette thèse qu’un principe fondamental de la théorie de l’intersection peut trouver son analogue en géométrie d’Arakelov. Il s’agit du principe de conservation des nombres d’intersection par déformation. En utilisant la théorie du tube analytique associé à un fibré hermitien, nous construisons une version arakelovienne de la déformation au cône normal.

En particulier, cette construction décrit la déformation d’un fibré en droite hermitien au-dessus de la déformation au cône normal. En utilisant les structures topologiques canoniques sur les espaces totaux de sections, nous introduisons des invariants numériques appelés invariants de Hilbert arithmétiques et montrons la conservation de ces invariants le long de la déformation. Ceci nous permet en particulier d’obtenir une démonstration du théorème de Hilbert-Samuel arithmétique n’utilisant que les réductions classiques de la théorie des faisceaux cohérents, le cas de l’espace projectif, et le principe de conservation du nombre.