Séminaire Arithmétique et Géométrie Algébrique
La loi de Weyl universelle avec gain par une puissance
06
déc. 2022
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Intervenant : Didier Lesesvre
Institution : Université de Lille
Heure : 14h00 - 15h00
Lieu : 3L15

Pour une variété riemannienne compacte, la loi de Weyl décrit
le comportement asymptotique du nombre de valeurs propres de l'opérateur
de Laplace sous-jacent. La compréhension fine de ces lois asymptotiques,
que ce soient les termes d'ordre supérieur ou le terme d'erreur, demeure
un problème difficile. Dans le contexte des espaces localement
symétriques, la théorie spectrale du laplacien est intimement liée à la
théorie des formes automorphes (parmi lesquelles se retrouvent les
courbes elliptiques, les formes modulaires ou de Maass, les
représentations galoisiennes, etc.) et les mêmes questions surgissent.

Il est en particulier naturel d'essayer d'établir une la loi de Weyl
pour la famille de toutes les représentations automorphes d'un groupe
réductif donné. Cependant, jusqu'à récemment, toutes les lois
asymptotiques connues n'étaient que partielles, certains paramètres
(spectral, poids, niveau, ...) demeurant fixés : cela revient, pour
ainsi dire, à n'étudier qu'une tranche de l'espace des formes
automorphes. Les dépendances cachées dans les termes d'erreur de ces
lois de Weyl partielles ne permettent toutefois pas de recoller les
tranches.

Récemment, Brumley et Milićević ont obtenu une loi de Weyl uniforme pour
GL(2), utilisant la formule des traces d'Arthur, mais n'obtenant
essentiellement pas de terme d'erreur.  En simplifiant à l'extrême le
cadre de ces travaux, revenant à des idées utilisées jadis par Drinfeld,
nous avons obtenu un gain par une puissance dans le terme d'erreur de la
loi de Weyl pour la famille universelle des formes automorphes sur
GL(2). L'idée centrale est d'étudier une "fonction zêta du conducteur"
pertinente, et de déduire des lois de comptage par des arguments
taubériens, rappelant les méthodes bien connues de la géométrie
arithmétique, suggérant peut-être des ponts plus profonds.
 

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