Je présenterai les résultats d'un travail en collaboration avec D.Buraczewski et T.Szarek, sur les systèmes dynamiques stochastiques définis par l'action sur la droite d'homéomorphismes aléatoires. Nous prouvons que, pour tout système recurrent, une mesure ergodique est essentiellement déterminée par son support et en déduisons des conditions (relativement optimales) qui garantissent que le système admet une unique mesure de Radon stationnaire sur R. Ce problème a déjà été étudié par Choquet et Deny (1960) dans le cadre de marches aléatoires générées par des translations de la droite et est assez bien compris pour des systèmes fortement contractants. Notre travail peut être considéré comme une suite aux articles de Babillot et al. (1997) et Deroin et al. (2013).