Séminaire Géométrie Topologie Dynamique
Dimension conforme et propriété de Liouville pour les groupes contractants
01
juin 2023
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Intervenant : Nicolas Matte Bon
Heure : 14h00 - 15h00
Lieu : 2L8

Les groupes contractants sont une classe de groupes agissant sur les arbres enracinés. Ces groupes
apparaissent naturellement comme invariants des systèmes dynamiques. Par exemple, à toute fonction
rationnelle F sur la sphère de Riemann, on peut associer un groupe contractant G appelé le groupe
de monodromie itérée de F. Plus généralement, on peut associer un tel groupe à tout
auto-recouvrement partiel F localement dilatant d'un compact X (satisfaisants certaines
hypothèses). Réciproquement, à tout groupe contractant G, on peut associer un espace compact J_G
appelé l'espace limite de G et une application localement dilatante de J_G vers lui-même. Cet
espace est défini comme le bord d'un graphe Gromov-hyperbolique construit à partir de G. Dans le
cas du groupe de monodromie itérée d'une fonction rationnelle complexe F, il est homéomorphe à
l'ensemble de Julia de F. Cette théorie a été largement développée par V. Nekrashevych et d'autres.

Une question ouverte majeure dans ce domaine est de savoir si tout groupe contractant est
moyennable. Dans un travail en collaboration avec V. Nekrashevych et T. Zheng, nous étudions une
notion de dimension conforme sur l'espace limite d'un groupe contractant G. Nous montrons que si
cette dimension est strictement inférieure à 2, le groupe G est moyennable. Ce résultat est prouvé
en établissant la trivialité du bord de Poisson (ou propriété de Liouville) pour les marches
aléatoires sur G induites par une mesure symétrique à deuxième moment fini. Comme corollaire, si F
est une fonction rationnelle post-critiquement finie dont l'ensemble de Julia n'est pas toute la
sphère de Riemann, alors le groupe de monodromie itérée de F est moyennable.

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