(avec Sylvain Courte, Marco Golla et Delphine Moussard)

Une n-section d'une variété W de dimension n+1 est une décomposition de W en n morceaux W_1, ..., W_n qui sont des corps à anses (i.e. des graphes épaissis en dimension n+1) dont les intersections partielles sont aussi des corps à anses, et dont l'intersection totale est une surface.

Ainsi, en dimension 3 une 2-section est un scindement de Heegaard. En dimension 4, les trisections ont été introduites par Gay-Kirby en 2016.

Dans cet exposé, je rappellerai ces notions de dimension 3 et 4 et je présenterai nos avancées pour les généraliser en toute dimension.

Notamment, nous avons prouvé que toute 5-variété admet une 4-section et que tout diagramme abstrait de n-section définit une unique variété de dimension n+1.

Nos techniques reposent sur la théorie de Morse et les décompositions en anses, et je les illustrerai sur divers exemples simples.