Cette thèse étudie différentes variantes de la mesure harmonique et leurs relations avec la géométrie de la frontière d'un domaine.
Dans la première partie de la thèse, on se concentre sur l'analogue de la mesure harmonique pour les domaines ayant des frontières de dimensions plus petites, définies via la théorie des opérateurs elliptiques dégénérés récemment développée par David et al. Plus précisément, on démontre qu'il n'existe pas de famille à un paramètre non dégénérée de solutions de l'équation $L_mu D_mu = 0$, ce qui constitue la première étape pour retrouver une forme de l'assertion "si la fonction de distance à la frontière d'un domaine est harmonique, alors la frontière est plate", qui manque à la théorie des opérateurs elliptiques dégénérés. On découvre et explique également pourquoi la stratégie la plus naturelle pour étendre notre résultat à l'absence de solutions individuelles de l'équation $L_mu D_mu = 0$ ne fonctionne pas.
Dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéresse aux mesures elliptiques dans le cadre classique. On construit une nouvelle famille d'opérateurs avec des coefficients continus scalaires dont les mesures elliptiques sont absolument continues par rapport aux mesures de Hausdorff sur des flocons de neige symétriques de type Koch. Cette famille enrichit la collection des exemples connus de mesures elliptiques qui se comportent très différemment de la mesure harmonique et des mesures elliptiques d'opérateurs proches, d'une certaine manière, du Laplacien. De plus, nos nouveaux exemples ne sont pas compacts. La construction fournit également une méthode possible pour construire des opérateurs ayant ce type de comportement pour d'autres fractales qui possèdent suffisamment de symétries.