En 2000 Eliashberg et Polterovich introduisent et étudient une relation binaire bi-invariante sur le groupe des contactomorphismes d’une variété de contact. Ils montrent que pour certaines variétés de contact cette relation est un ordre partiel. Dans cet exposé je vais montrer comme l’existence seule de cet ordre permet de construire des “sélecteurs spectraux” pour des legendriennes et des contactomorphismes, semblables aux invariants spectraux de la géométrie symplectique provenant de l’homologie de Floer Lagrangienne. D’une part, j’en déduirai des applications concernant la dynamique du flot de Reeb, i.e. existence de points translatés et de cordes de Reeb. D’autre part, j’utiliserai ces sélecteurs pour étudier la géométrie du groupe des contactomorphismes et celle de l’ensemble des legendriennes isotopes entre elles, i.e. existence de métriques, études de leurs géodésiques etc.

C’est un travail joint avec Simon Allais