GT des doctorants ANH et ANEDP
Un exemple de turbulence faible dans l'équation de Schrödinger
04
nov. 2024
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Intervenant : Ambre Chabert
Institution : DMA
Heure : 14h00 - 15h00
Lieu : 3L8
Dans cet exposé, j'introduirai une EDP bien connue, l'équation de Schrödinger en présence d'un potentiel $$i\partial_t u =-\Delta u+V(t)u$$ où $\Delta$ est le Laplacien usuel, $V(t)$ est un potentiel réel lisse en temps et en espace et le domaine est le tore 2D.
J'expliquerai ensuite comment cette équation permet d'exhiber un exemple élémentaire du phénomène de turbulence faible, à savoir l'existence de solutions lisses dont les normes $H^s, s>0$ explosent à l'infini, malgré que toutes les solutions soient globales et voient leur norme $L^2$ conservée. J'en profiterai pour revenir sur l'importance du phénomène et la difficulté particulière d'en donner des illustrations intéressantes. Ce phénomène résulte d'ordinaire d'interactions non-linéaires entre modes de Fourier, ainsi je montrerai comment j'adapte des méthodes issues d'EDP non-linéaires afin de produire une cascade d'énergie vers les hautes fréquences dans un contexte linéaire.
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