Les W-algèbres affines forment une famille d’algèbres vertex définies comme réductions hamiltoniennes quantiques d’algèbres de Kac–Moody affines. Ce sont des algèbres non-commutatives et non-associatives, indexées par les orbites nilpotentes des algèbres de Lie simples. Toute W-algèbre affine a un analogue associatif et finiment engendré, une W-algèbre finie. Les propriétés algébriques d’une W-algèbre affine ou finie sont liées aux propriétés géométriques d’une variété de Poisson affine, une tranche de Slodowy.

 

Étant donnée une paire d’orbites nilpotentes, on peut considérer une paire de W-algèbres (finies ou affines). Dans cette thèse, sous certaines conditions de compatibilité entre ces orbites, nous démontrons que l’une de ces deux W-algèbres peut être reconstruite comme réduction hamiltonienne quantique de l’autre. Ce procédé est dénommé réduction par étapes. Pour établir la réduction par étapes pour les W-algèbres, nous démontrons d’abord que la réduction par étapes a lieu pour la paire de tranches de Slodowy associée à la paire d’orbites nilpotentes que l’on a choisies.

 

La réduction par étapes pour les W-algèbres finies est démontrée grâce à l’introduction de filtrations sur les deux W-algèbres telles que les algèbres graduées associées coïncident avec les algèbres de Poisson constituées des fonctions polynomiales sur les tranches de Slodowy. Comme application de la réduction par étapes, nous établissons un analogue de l’équivalence de catégorie de Skryabin pour les modules sur ces W-algèbres.

 

Pour les W-algèbres affines, la réduction hamiltonienne quantique est réalisée au moyen de la cohomologie BRST, entraînant de nouvelles difficultés techniques. Nous devons établir que chaque W-algèbre peut être définie en utilisant des constructions cohomologiques différentes mais équivalentes. Choisir les bonnes constructions nous permet de relier naturellement les deux W-algèbres et d’en déduire la réduction par étapes.

 

On produit plusieurs exemples de paires d’orbites nilpotentes compatibles pour des algèbres de Lie simples classiques et exceptionnelles. En type A, un exemples fondamental est quand les orbites nilpotentes correspondent à des partitions en équerre. En guise d’application, nous donnons une nouvelle interprétation des isomorphismes de Kraft–Procesi entre des tranches de Slodowy nilpotentes à l’aide de la réduction par étapes. Nous expliquons notre futur projet d’appliquer la réduction par étapes à la démonstration d’isomorphismes de quotients simples de W-algèbres affines qui sont analogues aux isomorphismes de Kraft–Procesi.