Cette thèse est consacrée à l’analyse des équations aux dérivées partielles dispersives non linéaires comportant des termes non locaux, avec une attention particulière portée au rôle joué par l’intégrabilité dans le comportement qualitatif et quantitatif des solutions. Le manuscrit se divise en deux parties.

La première est dédiée à l’étude de l’équation de Schrödinger demi-onde, un modèle non intégrable mais résonant, présentant une dynamique riche à long terme, incluant l’existence des opérateurs d’onde modifiés et des phénomènes d’explosion à temps infini.

La seconde partie porte sur des systèmes intégrables, tels que les équations de Benjamin–Ono et de Schrödinger non linéaire dérivée de Calogero–Moser–Sutherland, qui possèdent une paire de Lax, une infinité de lois de conservation, et admettent des formules explicites pour leurs solutions. Ces propriétés permettent d’établir que certains problèmes de Cauchy sont globalement bien posés en régularité critique, d’analyser le comportement en temps long des solutions, ainsi que d’étudier la limite dans le régime de faible dispersion. Elles motivent également la conception de nouveaux schémas numériques, exacts en temps et précis en espace.

Tout au long de la thèse, l’intégrabilité — exacte ou approchée — joue un rôle structurant, fournissant un cadre unifié reliant des modèles a priori très différents.