Cette thèse se compose de deux parties.

La première est consacrée à l’étude des écoulements multiphasiques dans les milieux poreux. En présence d’un potentiel de pression capillaire, l’existence de solutions est établie par les méthodes de flot de gradient dans l’espace de Wasserstein. En l’absence de ce potentiel, on démontre également l’existence d’une solution, sous des hypothèses adaptées sur la donnée initiale, sur le tore, à l’aide de la théorie des systèmes hyperboliques de lois de conservation. L’objectif est d’analyser le comportement des solutions lorsque le potentiel capillaire tend vers zéro.

Afin de disposer d’un cadre unifié pour les régimes avec ou sans pression capillaire, nous commençons par étendre la théorie d’existence des solutions capillaires sur le tore. Le chapitre 2 introduit une généralisation du schéma de Jordan–Kinderlehrer–Otto, appelée schéma JKO relevé, permettant l’ajout d’un terme de dérive constant dans les fonctionnelles définies sur le tore. Nous montrons que ce schéma coïncide avec le schéma JKO classique lorsque la dérive est nulle et que la convergence est assurée pour des dérives non nulles.

Au chapitre 3, ce cadre est appliqué à la démonstration de l’existence d’une solution pour l’écoulement multiphasique sur le tore. Le chapitre 4 s’appuie ensuite sur la théorie des systèmes hyperboliques pour établir l’existence de solutions en l’absence de pression capillaire, ainsi qu’un principe d’unicité faible-forte, reposant sur l’existence d’une loi de conservation supplémentaire pour une quantité strictement convexe. Enfin, la section 5 fournit une borne quantitative sur la distance entre solutions capillaires et non capillaires, obtenue par la méthode de l’entropie relative.

La seconde partie explore une formulation variationnelle de certaines équations d’évolution introduites par Yann Brenier. Pour de nombreuses EDP non linéaires, le problème de Cauchy peut admettre une infinité de solutions faibles. Dans le cas des équations d’Euler pour les fluides incompressibles, ou plus généralement des systèmes hyperboliques munis d’une entropie convexe, Brenier propose de sélectionner, parmi toutes les solutions faibles issues d’une condition initiale donnée u0, celle qui minimise l’intégrale temporelle de l’énergie cinétique (pour Euler) ou de l’entropie (pour les systèmes de lois de conservation) sur un intervalle fini [0,T]. Ce problème peut être dépourvu de solution directe, mais il admet un problème dual convexe, dont la solution, appelée solution duale, existe généralement. La fonctionnelle associée présente une analogie frappante avec celle de Benamou–Brenier ; nous adoptons donc la dénomination de formulation Benamou–Brenier balistique (ou BBB). Brenier en a donné une expression explicite reliant cette solution duale à toute solution lisse du problème de Cauchy, au moins pour des temps T modérés.

Dans la première section, nous précisons des conditions garantissant la validité de cette formulation et permettant de retrouver la solution classique du problème initial. La seconde section est consacrée à la discrétisation de la formulation BBB pour deux équations scalaires : l’équation des milieux poreux quadratique et l’équation de Burgers. Nous présentons une méthode numérique efficace fondée sur l’algorithme de Chambolle–Pock et en étudions la convergence. La troisième section étend ce schéma à une classe d’équations que nous appelons équations de milieu poreux généralisées. Enfin, nous examinons l’effet de l’introduction d’un paramètre de pondération de l’énergie cinétique sur le temps de validité de la formulation BBB.