Soit $G$ un groupe de Lie complexe réductif. On peut décomposer $G$ en cellules de Bruhat doubles, indexées par des paires d’éléments du groupe de Weyl associé à $G$. Ces cellules apparaissent naturellement dans l’étude des éléments totalement positifs de $G$ (Fomin–Zelevinsky, 1998), et sont ainsi reliées à des variétés amassées de type A (Fomin–Zelevinsky, 2003) ou de type X (Fock–Goncharov, 2005).

Les réseaux exponentiels généralisent les réseaux spectraux de Gaiotto–Moore–Neitzke (2013) au cas de revêtements ramifiés de $\mathbb{C}^*$ par une courbe algébrique dans $\mathbb{C}^*\times \mathbb{C}^*$. À l’instar des réseaux spectraux, qui fournissent des coordonnées sur les espaces de modules de connexions plates non abéliennes sur une surface de Riemann, les réseaux exponentiels définissent une procédure formelle d’abélianisation, dont la nature exacte demeure encore mal comprise.

Dans cet exposé, je présenterai des travaux en cours visant à montrer que la procédure d’abélianisation des réseaux exponentiels fournit naturellement des coordonnées sur les cellules de Bruhat doubles de groupes affines, généralisant les systèmes de coordonnées introduits par Fock et Marshakov (2014).