Le séminaire des doctorants se propose de fournir aux doctorants une occasion de s'ouvrir aux autres domaines des mathématiques que le leur. A chaque séance, un intervenant réalise un exposé sur un fait standard de leur domaine d'étude, de niveau adapté à l'ensemble des doctorants.

Dans les années 90, Serre a initié un programme de recherche autour de la probabilité qu'une équation choisie aléatoirement au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Par exemple, il démontra que 0% des coniques diagonales possèdent un point rationnel. Très peu de familles ont été étudiées à ce jour, bien qu'une conjecture due à Loughran--Smeets prédise un équivalent asymptotique dans certains cas. Dans l'esprit de cette conjecture, je vais expliquer comment, étant donné $F \in \mathbb{Z}[s,t]$ un polynôme homogène irréductible de degré 2 et $L/ \mathbb{Q}$ un corps de nombre abélien dont l'anneau des entiers est principal, on peut estimer (en ordre de grandeur) la proportion de F(s,t) qui s'écrivent comme la norme d'un élément de L. La méthode utilisée repose sur des techniques de théorie analytique des nombres comme le crible et la formule de Perron, ainsi que sur de la géométrie des nombres.

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The PhD students seminar aims to provide PhD students with an opportunity to explore other areas of mathematics beyond their own. At each session, a speaker gives a presentation on a standard topic in their field of study, at a level suitable for all doctoral students.