Le séminaire des doctorants se propose de fournir aux doctorants une occasion de s'ouvrir aux autres domaines des mathématiques que le leur. A chaque séance, un intervenant réalise un exposé sur un fait standard de leur domaine d'étude, de niveau adapté à l'ensemble des doctorants.

Vous avez vous-aussi toujours été étrangement intrigué par le lien ténu et mystérieux entre monotonie cyclique et transport optimal ? Vous tombez bien : ce sera très précisément le sujet du prochain séminaire de vulgarisation des doctorants ! Nous commencerons par définir le problème de transport optimal : étant donné une certaine configuration de masse, la « source », comment transporter cette masse vers une autre configuration elle-aussi donnée, la « cible », de sorte à minimiser le coût de transport ? Ce dernier correspond naturellement à la somme des coûts de transports de chacune des masses infinitésimales transportées. Bien poser le problème revient donc à fixer le coût de transport unitaire c(x,y) de tout point x vers tout point y. Par exemple le carré de la distance entre ces deux points, mais de nombreuses autres fonctions de coûts sont pertinentes selon les applications. Nous verrons comment les conditions d’optimalité pour le coût quadratique ont été généralisées aux fonctions de coûts générique c(x,y) via une notion étonnamment intuitive : la monotonie c-cyclique. Spoiler : nous ferons des liens avec quelques résultats iconiques, comme les théorèmes respectifs de (Yann) Brenier, de Birkhoff, et de Rockafellar.

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The PhD students seminar aims to provide PhD students with an opportunity to explore other areas of mathematics beyond their own. At each session, a speaker gives a presentation on a standard topic in their field of study, at a level suitable for all doctoral students.

Have you also always been strangely intrigued by the tenuous and mysterious link between cyclical monotonicity and optimal transport? You're in luck: this will be the topic of the next doctoral student seminar! We will begin by defining the optimal transport problem: given a certain configuration of mass, the “source,” how can this mass be transported to another given configuration, the “target,” in order to minimize the cost of transport? The latter naturally corresponds to the sum of the transport costs of each of the infinitesimal masses transported. Properly posing the problem therefore amounts to setting the unit transport cost c(x,y) from any point x to any point y. For example, the square of the distance between these two points, but many other cost functions are relevant depending on the application. We will see how the optimality conditions for quadratic cost have been generalized to generic cost functions c(x,y) via a surprisingly intuitive notion: c-cyclic monotonicity. Spoiler: we will make connections a few iconic results, such as the respective theorems of (Yann) Brenier, Birkhoff, and Rockafellar.