Résumé : L'ensemble sphérique est un modèle intégrable remarquable de la théorie des matrices aléatoires. Cet exposé présente quelques aspects de son étude spectrale, en lien avec des phénomènes en grande dimension, en particulier l'universalité de la fluctuation du rayon spectral, et celle des statistiques linéaires à singularité logarithmique. Cela mène notamment à formuler des questions ouvertes sur l'asymptotique de Fisher-Hartwig pour le polynôme caractéristique, et sur un chaos multiplicatif gaussien pour la statistique linéaire de la fonction de Green. Cet exposé se veut accessible. Il mêle de multiple manières probabilités, analyse, et géométrie. Les travaux présentés sont principalement en collaboration avec David García-Zelada (Sorbonne Université) et YuanYuan Xu 许媛媛 (Académie chinoise des sciences).