Le séminaire des doctorants se propose de fournir aux doctorants une occasion de s'ouvrir aux autres domaines des mathématiques que le leur. A chaque séance, un intervenant réalise un exposé sur un fait standard de leur domaine d'étude, de niveau adapté à l'ensemble des doctorants.

Il existe différents types d’inégalités elliptiques. L’un des exemples les plus classiques et les plus simples à établir est le fait que la norme $H^2$ d’une fonction --- c’est-à-dire les normes $L^2$ de toutes ses dérivées d’ordre inférieur ou égal à 2 --- peut être majorée, à une constante près, par la norme $L^2$ de son laplacien. On dit alors que la norme $H^2$ est contrôlée par la norme $L^2$ du laplacien.

Dans cet exposé, nous introduirons les espaces de Sobolev, discuterons de leur caractérisation par la transformée de Fourier, et expliquerons comment obtenir ce résultat.

Ce type d'inégalité est essentiel afin de prouver des résultats d'existence, d'unicité et de régularité de solution d'EDP comme l'équation de la chaleur ou Schrödinger. Toutefois, ces équations sont isotropes --- invariantes par rotation --- et il est naturel de se demander ce qu'il arrive dans le cas anisotrope --- dépendantes de la direction. Pour cela, on généralise le laplacien en introduisant la notion de sous-laplacien --- définies comme la somme de "dérivées" (champs de vecteurs) au carré --- qui sont des opérateurs différentiels agissant selon des directions prescrites mais pas nécessairement dans toutes les directions.

Il est alors naturel de se demander si l'inégalité elliptique précédente est encore vérifiée pour des sous-lapalciens. La réponse est non mais l'inégalité de Rothschild-Stein annonce que l'on contrôle la norme $H^1$ à partir de la norme $L^2$ du sous-laplacien---à condition que ce sous-laplacien vérifie la condition de Hörmander. Nous donnerons une preuve simplifiée de cette inégalité et discuterons de son optimalité.

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There exist various types of elliptic inequalities: one of the most famous and easy to prove is the ability to bound the $H^2$-norm (all the derivatives of order less or equal to 2) of a function by the $L^2$-norm of its Laplacian up to a constant. We say that the $H^2$-norm is controlled by the $L^2$-norm of the Laplacian. In this talk, we will introduce Sobolev spaces, its caracterisation by the Fourier transform, and how to arrive at this result.

These inequalities play a fundamental role in establishing existence, uniqueness and regularity results for partial differential equations, such as the heat equation and the Schrödinger equation. Those equations are isotropic, in the sense that they are invariant by rotation. It is therefore natural to investigate the anisotropic setting, where directional dependence is present. In this context, one is led to generalize the Laplacian by introducing sub-Laplacians---defined as sums of squares of ``derivatives'' (vector fields)---that is, differential operators acting along prescribed directions but not necessarily in all directions.

A natural question is whether the aforementioned elliptic inequality holds for sub-Laplacians. In general, this is not the case. However, the Rothschild–Stein inequality asserts that the $H^1$-norm can be controlled by the $L^2$-norm of the sub-Laplacian, provided that Hörmander’s condition is satisfied. In this talk, we present a simplified proof of this inequality and discuss its optimality.

The PhD students seminar aims to provide PhD students with an opportunity to explore other areas of mathematics beyond their own. At each session, a speaker gives a presentation on a standard topic in their field of study, at a level suitable for all doctoral students.