Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents sur la stabilité asymptotique de solutions de type kink pour des équations dispersives non linéaires. Je commencerai par un bref aperçu du domaine, puis je me concentrerai sur le modèle de Yang-Mills dans un fond extrémal de Reissner-Nordstr\"om. Le kink y est une solution stationnaire fondamentale, fortement instable et sans forme explicite.

 

Ce qui rend ce problème particulièrement difficile est la combinaison d'une dispersion unidimensionnelle faible, d'une décroissance en carré inverse du potentiel linéarisé, et de la présence d'une résonance de seuil faible, ce qui nécessite de nouvelles idées et technicités dans la preuve.

 

J'expliquerai comment nous étendons et adaptons les techniques de viriel dans l'esprit de Kowalczyk, Martel et Muñoz à ce cadre, ce qui nous permet de prouver la stabilité asymptotique dans l'espace d'énergie et de construire une variété stable explicite de codimension finie autour du kink. Si le temps le permet, je discuterai des problèmes ouverts et des directions de recherche en cours.