Le séminaire des doctorants se propose de fournir aux doctorants une occasion de s'ouvrir aux autres domaines des mathématiques que le leur. A chaque séance, un intervenant réalise un exposé sur un fait standard de leur domaine d'étude, de niveau adapté à l'ensemble des doctorants.

Cet exposé a pour objectif d’introduire quelques méthodes élémentaires utilisées pour analyser les équations aux dérivées partielles elliptiques. Je me limiterai à l’équation de Poisson posée sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$, avec des conditions au bord de Dirichlet, qui intervient dans de nombreux domaines de la physique.

Il se trouve que lorsqu’on étudie de telles équations, il est avantageux de faire intervenir à de nombreuses reprises la notion très générale (et bien connue de tous) d’espace dual. Plus précisément, le fait de savoir caractériser les duaux d’espaces fonctionnels bien choisis permet d’obtenir certains résultats fondamentaux sur l’équation de Poisson. Je me focaliserai donc sur cet aspect de la théorie des EDP elliptiques, en présentant plusieurs résultat fondamentaux (existence et unicité des solutions, construction de la mesure harmonique), et en expliquant sur chaque exemple en quoi voir le problème sous l’angle de la dualité nous donne le résultat recherché.

Cet exposé se veut accessible à tous.tes ; en particulier, il ne demandera aucun prérequis sur la théorie des distributions ou sur les espaces fonctionnels intervenant dans l’étude des EDP.

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The PhD students seminar aims to provide PhD students with an opportunity to explore other areas of mathematics beyond their own. At each session, a speaker gives a presentation on a standard topic in their field of study, at a level suitable for all doctoral students.

Characterization of Certain Dual Spaces and Applications to the Solution of Elliptic PDEs

The aim of this talk is to introduce some elementary methods used in the analysis of elliptic partial differential equations. I will focus on the Poisson equation defined on an open subset of (\mathbb{R}^n) with Dirichlet boundary conditions, a model that arises in many areas of physics.

It turns out that, when studying such equations, it is advantageous to make repeated use of the very general (and widely familiar) notion of dual spaces. More specifically, characterizing the duals of suitably chosen function spaces provides us with several fundamental results concerning the Poisson equation. I will therefore emphasize this aspect of the theory of elliptic PDEs by presenting a number of classical results (existence and uniqueness of solutions, construction of the harmonic measure) and by explaining, in each case, how viewing the problem through the lens of duality leads naturally to the desired conclusion.

This talk is intended to be accessible to a broad audience. In particular, no prior knowledge of distribution theory or of the function spaces commonly used in the study of partial differential equations will be assumed.