Cette thèse s'inscrit dans le programme de Langlands géométrique quantique, un vaste réseau de conjectures reliant théorie des représentations et géométrie algébrique. Notre approche emploie le langage des algèbres vertex, un cadre algébrique adapté pour l'étude des différents objets apparaissant dans ce contexte.

L'objet central de notre étude est l'algèbre vertex des opérateurs différentiels chiraux sur un groupe algébrique réductif G. Cette algèbre dépend d'un paramètre, appelé niveau, et nous nous intéressons à sa théorie des représentations pour des valeurs génériques de ce paramètre. Dans ce contexte, on montre que l'équivalence de Satake géométrique dégénère. Ce phénomène nous mène à formuler un analogue vertex de l'équivalence locale fondamentale de Gaitsgory et Lurie.

Cette perspective nous conduit naturellement à la W-algèbre affine principale équivariante associée, introduite par Arakawa comme la réduction hamiltonienne principale de l'algèbre des opérateurs différentiels chiraux. On étudie sa théorie des représentations et on construit une famille de modules simples sur cette W-algèbre dont la combinatoire coïncide avec celle de la théorie des représentations du groupe de Langlands dual de G. On prouve ensuite l'équivalence attendue dans les cas où G est un tore algébrique ou un groupe classique simple adjoint simplement lacé.

Un ingrédient clé de notre preuve est une famille d'algèbres vertex d'opérateurs différentiels chiraux décalés. Même dans les cas les plus simples, on sait très peu de ces algèbres. Quand G est un tore algébrique, on calcule et on étudie leurs schémas de Poisson associés.