Dans cette thèse, nous étudions comment l'existence existence de points critiques influe sur les propriétés statistiques des systèmes hyperboliques non uniformes. Nous nous intéressons en particulier aux mesures maximisant l'entropie des applications en dimension $1$. 

Notre principale technique consiste à adapter les travaux récents de Buzzi, Crovisier et Sarig sur la récurrence fortement positive (SPR) pour les difféomorphismes à des situations non-inversibles et avec des points critiques. L'idée repose sur le codage symbolique du système, la démonstration de la continuité entropique des exposants de Lyapunov et utilisation des décalages de Markov topologiques.

Dans cet article, nous reformulons la théorie de Pesin et introduisons des classes homoclines issues de la théorie de la mesure pour les applications en dimension $1$. Nous élaborons un codage symbolique pour les applications $C^r$ de dimension $1$ avec entropie topologique positive, en modifiant des résultats similaires de Lima qui supposent des hypothèses supplémentaires concernant la non-dégénérescence des ensembles critiques et l’adaptedness des mesures. Dans un deuxième temps, nous prouvons la continuité entropique des exposants de Lyapunov des applications régulières de dimension $1$. 

Cela nous permet de définir la propriété de récurrence positive forte pour les applications de dimension $1$, et de montrer que toute application avec entropie topologique positive de dimension $1$ satisfait cette propriété.Nous obtenons ainsi le mélange exponentiel des mesures maximisant l'entropie des applications avec entropie topologique positive en dimension $1$.

In this thesis, we investigate how the existence of critical points affects the statistical property of non-uniform hyperbolic systems. In particular, we study the measures of maximal entropy of maps in dimension $1$. 

Our main technique is to adapt the recent work of Buzzi, Crovisier, Sarig on Strong Positive Recurrence for diffeomorphisms to setups where the systems are non-invertible and admit critical sets. The idea involves the symbolic coding of the system, proving entropic continuity of Lyapunov exponents, and using the machinery of topological Markov shifts.

In this work, we reformulate Pesin theory and introduce measure-theoretic homoclinic classes for maps in dimension $1$. We build a symbolic coding for $C^r$-maps of dimension $1$ with positive topological entropy, improving a current version with additional assumptions on the non-flatness of the critical sets and the adaptness of the measures. Secondly, we prove the entropic-continuity of Lyapunov exponents of maps in dimension $1$ with positive entropy. 

This allows us to define Strong Positive Recurrence property for maps in dimension $1$, and show that each map with positive topological entropy in dimension $1$ satisfies this property. As a result, we show exponential mixing of the measures of maximal entropy of maps in dimension $1$ with positive entropy, which we believe to be new when the critical set is infinite.