Dans ce séminaire nous allons étudier  un problème de stabilité  pour l'inégalité isopérimétrique dans $\mathbb{R}^3$, faisant intervenir une asymétrie de type Hausdorff. Pour un corps convexe $F \subset \mathbb{R}^3$ de volume  $4\pi/3$ (c'est-à-dire le volume de la boule unité dans l'espace), nous considérons la fonctionnelle  \[ Q^*(F) := \frac{\delta(F)\log\bigl(\delta(F)+\delta(F)^{-1}\bigr)P(F)^3} {\lambda^*(F)^2}, \] o\`u $\delta(F)$ d\'esigne le déficit isop\'erim\'etrique, c'est-à-dire la différence entre le périmétre $P(F)$ et  le périmètre de la boule unité, et $\displaystyle \lambda^*(F):=\inf_{x\in\mathbb{R}^3} d_H(F,B+x)$ 
la distance de Hausdorff à la famille des boules unit\'es. Le facteur logarithmique reflète l'échelle capacitaire optimale au voisinage de la boule en dimension trois, tandis que le facteur $P(F)^3$  assure la coercivité. Notre résultat principal est l'existence du minimum de $Q^*$ dans la classe des corps convexes de volume $4\pi/3$. 

Ce travail est en  collaboration avec S. Bove et G. Pisante.