Une forme de la conjecture de rigidité de Connes prédit que les algèbres de von Neumann de $\mathrm{PSL_n}(Z)$ sont toutes distinctes. Au moment où j'écris ces lignes, cette conjecture est toujours ouverte. Des anciens travaux avec Vincent Lafforgue et Tim de Laat (ainsi que d'autres travaux de Uffe Haagerup et Tim de Laat) suggèrent une approche possible à cette conjecture, en terme de propriétés d'approximation.
J'expliquerai pourquoi cette approche est difficile: elle implique aussi une forme de la conjecture de Kakeya en toute dimension.
La conjecture de Kakeya en dimension d affirme que toute partie de l'espace euclidien de dimension d, qui contient un segment dans toute direction, est de dimension de Hausdorff égale à d. Au moment où j'écris ces lignes, cette conjecture est prouvée uniquement en dimension 2 (Davies, Cordoba) et 3 (Wang et Zahl).

Café culturel par Amaury Freslon à 13h05 en 2L8.