Dans cette thèse, nous analysons la géométrie induite par deux variantes de la distance de Wasserstein en transport optimal: la distance de Sliced-Wasserstein, et la distance Wasserstein sur Wasserstein. Dans la première partie de cette thèse, nous nous focalisons sur la distance de Sliced-Wasserstein, et nous examinons les propriétés de convergence et les points critiques de sa forme semi-discrète. Puis, nous définissons un cadre général pour l'étude de points critiques de fonctionnelles définies sur des espaces de mesures de probabilités, que nous utilisons pour démontrer que les points critiques en contexte semi-discret sont un cas particulier d'un type spécifique de mesures critiques que nous appelons points critiques lagrangiens. Nous étudions ensuite les propriétes des points critiques lagrangiens de la distance de Sliced-Wasserstein, notamment leur existence et leur stabilité. Enfin, nous étudions la quantification de la distance de Sliced-Wasserstein, et nous dérivons de nouvelles bornes sur son erreur de quantification uniforme. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur le cas particulier du transport optimal où l'espace sous-jacent est lui-même un espace de probabilités. Nous construisons en particulier une structure de type riemannien sur l'espace de mesures de probabilités sur des mesures de probabilités $\cPP{\R^d}$, muni de la distance Wasserstein sur Wasserstein, nous permettant de considérer des flots de gradient Wasserstein sur cet espace. Nous montrons ensuite comment ce cadre théorique peut être appliqué à divers problèmes de machine learning, par le biais de flots de jeux de données représentés par des éléments de $\cPP{\R^d}$. Enfin, dans la troisième et dernière partie, nous étendons cette théorie à toute la suite d'espaces $\cPn{n}{\cM} = \cP_2(\ldots\cP_2(\cM)\ldots)$ obtenue en itérant l'opération $\cP_2$ sur une variété riemannienne $\cM$. Nous montrons que ces espaces peuvent à nouveau être munis d'une structure de type riemannien d'une façon systématique, nous permettant d'analyser leur géométrie, de caractériser leurs géodésiques et de définir le gradient de fonctionnelles.