Cette thèse vise à obtenir des estimations affinées pour des opérateurs paraboliques selon deux perspectives différentes : les solutions fondamentales et les problèmes de Cauchy, avec un accent particulier sur les solutions des équations paraboliques, et les transformées de Riesz paraboliques, avec un accent particulier sur les propriétés analytiques de ces opérateurs.

Dans la première partie, nous établissons une théorie complète et universelle du caractère bien posé des problèmes de Cauchy paraboliques et de la construction de solutions fondamentales. Notre théorie va au-delà du cadre de Lions et repose sur une méthode variationnelle. Nous appliquons ensuite cette théorie aux équations paraboliques dégénérées, en fournissant une nouvelle preuve constructive des bornes d’Aronson. Enfin, nous ajoutons des termes d’ordre inférieur non bornés appartenant à des espaces de Lebesgue mixtes, voire de Lorentz, sous-critiques. Cette extension est rendue possible par l’identification et la démonstration de plongements de Sobolev adaptés et optimaux pour les laplaciens dégénérés.

Dans la seconde partie, nous déterminons l’intervalle optimal des $p\in(1,2)$ pour lequel les transformées de Riesz paraboliques à coefficients non réguliers sont bornées sur $\mathrm{L}^p$, en extrapolant à partir du cas $p=2$, qui correspond à l’estimation de Kato pour la racine carrée parabolique récemment établie. Nous considérons également le cas de parties elliptiques dégénérées. Nous commençons par élucider la décroissance spatio-temporelle limitée dans les estimations hors diagonale pour le gradient parabolique de la famille de résolvantes. Nous développons les techniques adaptées et recourons ensuite à un argument d’itération afin d’extrapoler la bornitude à l’intervalle approprié.