L’objet de cette thèse est d’étudier de nouveaux modèles macroscopiques de mouvements de foule.

La modélisation mathématique des mouvements de foules répond à des enjeux multiples, en ce qu’elle permet la meilleure compréhension de phénomènes essentiels pour la conception de bâtiments, la planification urbaine, ou encore la gestion d’événements culturels et sportifs d’envergure. Elle revêt en ce sens un intérêt substantiel qui n’a cessé de croître au cours de ces dernières décennies, lui conférant un statut de champ de recherche à part entière au croisement des mathématiques, de la physique, des sciences sociales ou encore de l’informatique.

L’objectif des travaux entrepris durant cette thèse était de développer un nouveau modèle mathématique de dynamique des foules à l’échelle macroscopique en y intégrant une notion d’inhibition. Ce nouveau modèle reprend les ingrédients principaux de celui développé par Maury, Roudneff-Chupin et Santambrogio en 2010 : la foule y est décrite par une densité - soumise à une contrainte de congestion, cherchant à se déplacer à une vitesse donnée appelée vitesse souhaitée. Cette vitesse pouvant être incompatible avec la contrainte de congestion, on fait l’hypothèse que la foule adopte une vitesse « effective », choisie de sorte à coïncider avec la vitesse souhaitée là où la foule n’atteint pas le seuil de congestion (modèle « hard ») tout en préservant la contrainte là où le seuil est saturé. 

L’apport majeur de ce nouveau modèle réside dans le choix de la vitesse effective, que l’on souhaite être de nature à respecter le principe suivant : dans la région saturée, les personnes sont classées selon une hiérarchie, et les individus de priorité la plus élevée se déplacent librement, tandis que les autres adaptent leur dynamique de sorte à respecter la contrainte de congestion, sans influencer les personnes avec un plus haut degré de priorité. 

Cependant, un tel modèle pose de nombreuses difficultés mathématiques, qui ont donné lieu à l’adoption de deux approches : une première dite « mécaniste », et une autre dite « sociale ». La première accepte une influence bilatérale des individus avec des niveaux de priorités distincts, tout en conférant un poids progressivement plus élevé aux personnes selon leur degré de priorité, avec un paramètre de raideur déterminant à quel point deux niveaux de priorité différents correspondent à des poids différents. En faisant dégénérer ce paramètre, on arrive à briser la symétrie d’influence et obtenir un modèle qui correspond à nos attentes. La deuxième approche, dite « sociale », intègre directement l’asymétrie d’influence entre les agents, tout en autorisant une adaptation progressive de la vitesse effective à mesure que la densité se rapproche du seuil de congestion (modèle « soft). Cette adaptation se fait également selon un paramètre de raideur, que l’on fait dégénérer afin de retrouver un modèle « hard ».

Nous présenterons les résultats obtenus en utilisant ces deux approches, commenterons le modèle obtenu avec quelques illustrations numériques, tout en mentionnant les nombreux problèmes ouverts qui subsistent.