Polytech Paris-Saclay 2021–2022 - PeiP 1A/2C - S2 : Mathématiques 2

[ Remarque ] Toutes les informations ci-dessous apparaissent également sur la page du cours sur e-Campus.
Les feuilles de TD, notes de cours, contrôles et corrigés sont dans le dossier qui constitue le premier encadré.

[ Archives ] Liens vers les archives : années 2013 à 2016 (Michel Rumin), années 2017 et 2018 (poly, Joel Merker), et 2019–2020 et 2020–2021 (moi).

[ Cours/poly ] Ci-dessous un résumé détaillé des séances de cours tout au long du semestre. Il n'y a pas de poly officiel pour ce cours.
Pour chaque séance, il y a un lien vers les notes du cours correspondant (du fait des nombreux absents à chaque séance).

[ Feuilles d'exercices (TD/TP) ]

Feuille 1 : Intégrales simples et doubles
Feuille 2 : Intégrales doubles et triples
Feuille 3 : Droites et plans vectoriels, systèmes linéaires
Feuille 4 : Matrices et applications linéaires
Feuille 5 : Sous-espaces vectoriels, bases, dimension
Feuille 6 : Changements de bases + correction des exos 4, 5 et 7.

[ Contrôles ]

Contrôle 1 (25/02) : intégrations en 2 et 3 variables (sujet, corrigé)
Contrôle 2 (07/04) : + Systèmes linéaires et Matrices, applications linéaires (sujet, corrigé)
Contrôle 3 (19/05) : + sev, bases, dim et Algèbre linéaire (sujet)
Rattrapage (21/6) : Semestre entier (sujet)


Programme indicatif. Les dates en gritalic sont des prévisions (possiblement optimistes !).
11/1
         Notes 
Chap 1 : Intégration
1. Rappel : intégration en dimension 1.
Interprétations de l'intégrale.
Propriétés élémentaires de l'intégrale simple.
Intégrale, primitive et dérivée.
Corollaires: intégration par parties, changement de variable.
2. Fonctions de 2 variables et domaines réguliers de IR^2
Fonction de 2 variables sur un domaine de IR^2
12/1
         Notes 
Domaines réguliers.
Fonctions continues de 2 variables.
3. Intégrale double et aire d'un domaine
Intégrale double, définition.
Aire d'un domaine régulier, définition et calcul par (décomposition et) tranches.
4. Propriétés de l'intégrale double.
Linéarité, positivité, croissance par rapport au domaine.
18/1
         Notes 
Additivité par rapport au découpage du domaine.
5. Illustration physique : intégrale et centre de gravité.
6. Le théorème de Fubini
Fubini dans le plan.
Cas des fonctions séparées sur les rectangles.
Exemples et idées de démo de Fubini.
19/1
         Notes 
7. Changements de variables.
La formule (et l'idée derrière).
Des jacobiens particuliers : dilatations, isométries.
Calculs en coordonnées polaires.
25/1
         Notes 
8. Intégrales triples
Domaines réguliers de IR^3, fonctions de 3 variables continues.
Intégrale triple et volume d'un domaine régulier.
Propriétés de l'intégrale triple.
Centre de gravité d'un solide.
Fubini en 3D.
26/1
         Notes 
Changement de variables.
Calculs en coordonnées cylindriques.
Calculs en coordonnées sphériques.

1/2
         Notes 
Interlude : IR^n
Définition, droites et plans vectoriels.
Notion de base canonique.

Chap 2 : Systèmes linéaires
1. Présentations des systèmes linéaires.
Interprétations comme combinaisons linéaires, codage matriciel.
2. Systèmes particuliers.
(1) Systèmes triangulaires, systèmes de Cramer.
(2) Systèmes échelonnés (réduits).
Pivots, inconnues principales / secondaires, équations de compatibilité.
2/2
         Notes 
Résolution d'un système échelonné.
3. Systèmes équivalents et transformations élémentaires.
4. Algorithme du pivot de Gauss-Jordan.
Obtention d'un système linéaire échelonné (réduit).
5. Notion de rang.
Rang d'un système, rang d'une matrice.
Nombre de solutions en fonction du rang vs nombre d'équations/d'inconnues.
8/2 (1h30)
         Notes 
Chap 3 : Matrices et applications linéaires
1. Applications linéaires de IR^p dans IR^n.
Définition.
Caractérisation par la donnée de p vecteurs de IR^n.
2. Matrice d'une application linéaire.
3. Calcul matriciel de l'image d'un vecteur.
9/2
         Notes 
4. Exemples d'applications linéaires du plan.
Homothéties, rotations et compositions.
Projections / symétries orthogonales sur / par rapport aux axes (Ox) et (Oy).
Rotation de IR^3 par rapport à (Oz).
5. Opérations sur les matrices et les applications linéaires.
Structure d'espace vectoriel.
Produit de matrices et composition d'applications linéaires.
15/2
         Notes 
6. Isomorphismes et matrices inversibles
Applications linéaires injectives, surjectives. Isomorphismes.
Matrices inversibles.
Exemples et méthode de calcul de l'inverse.
22/2
         Notes 
Cas des matrices 2x2.
Déterminant et aire des parallélogrammes.

Application 1 : Analyse entrée/sortie en économie.

Contrôle 1 (25/2) : Chap 1

8/3
         Notes 
Chap 4 : Sous-espaces vectoriels, bases, dimension
1. Sous-espaces vectoriels de IR^n
Définition. Noyau et image d'une application linéaire.
2. Bases et coordonnées.
3. Indépendance linéaire.
Famille libre/liée.
15/3
         Notes 
Famille génératrice est une base ssi elle est libre.
4. Dimension d'un sev.
Définition comme cardinal de toute base.
Application (linéaire) "coordonnées". Aperçu des changements de base.
5. Calculs de dimensions et déterminations de bases.
Extraction d'une base à partir d'une famille génératrice par échelonnage.
Complétion d'une famille libre en base.
Dim et base de l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.
6. Conséquences utiles.
Cardinal des familles libres, génératrices et des bases.
16/3
         Notes 
Croissance de la dimension.
7. AX = Y et le théorème du rang.
Espace affine, structure de l'espace des solutions de AX = Y.
Le théorème du rang. Conséquences.
8. Espaces supplémentaires, projections et symétries.
Somme directe et espaces supplémentaires. Projections et symétries.
22/3
         Notes 
9. Projection orthogonale et théorème de Pythagore.
sev orthogonal à un sev E donné. E et son orthogonal sont supplémentaires.
Théorème de Pythagore. Caractérisation des projections orthogonales.

Application 2 : Moindres carrés, Régression linéaire et variantes
1. Régression linéaire.
Idée générale, méthode des moindres carrés (sur python).
2. Qualité de l'approximation
Coefficient de corrélation.
3. Variantes.
Approximation quadratique, sinusoïdale, exponentielle, plusieurs variables.
29/3
         Notes 
Chap 5 : Calcul matriciel dans des bases quelconques
1. Application linéaire et ses matrices associées.
Définition de la matrice de f dans les bases B et B'.
2. Opérations sur les applications linéaires et leurs matrices associées.
Composition / multiplication, réciproque / inverse.
3. Changement de bases et matrices de passage.
4. Le cas des endomorphismes.
Matrice de passage et changement de base.
5. Trace et déterminant d'un endomorphisme.
Trace d'une matrice et d'un endomorphisme. Déterminant en dimension 2.
5/4
         Notes 
Application 3 : Évolution de systèmes, matrices de transition
Pocessus de Markov, matrice de transition, état stationnaire.
Matrice de transition irréductibe et théorème de Perron-Frobenius
Dans la pratique (python). Généralisation

Contrôle 2 (7/4) : Chap 1-3


Contrôle 3 (19/5) : Chap 1-5