14h-14h30 : Solubilité locale pour des variétés en famille (Mathieu Da Silva)

Résumé : Dans les années 90, Serre a initié un programme de recherche visant à comprendre avec quelle probabilité une équation choisie uniformément au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Il obtient, entre autres, que 0 \% des coniques diagonales du plan possèdent un point rationnel.  

Loughran—Smeets (2016) puis Loughran—Rome—Sofos (2023) ont récemment généralisé les résultats de Serre et ont proposé une conjecture quantitative prédisant le nombre de fibres de hauteur bornée et admettant des solutions partout localement, d'un morphisme dominant \pi : V \to \P^n, où V est une variété lisse sur un corps de nombre. 

Dans cet exposé, après avoir présenté la conjecture ainsi que les quelques cas déjà connus, j'expliquerai comment établir que l'ordre de grandeur prédit par Loughran—Smeets est le bon dans le cas des fibrations de base \P^1_\Q. La démonstration repose sur des techniques de crible issues de la théorie analytique des nombres ainsi que sur de la géométrie des nombres.

14h30-15h: Brauer-Manin Obstructions for Homogeneous Spaces (Azur Ðonlagić)

Abstract : In this talk, we define the different kinds of Brauer-Manin obstructions in a form well-suited for the study of rational points on homogeneous spaces of affine algebraic groups over global fields. We state the main questions considered in this theory and give an account of some developments, including the speaker's recent work.

Finally, we present (very briefly) the main tools and ideas used in this theory, such as arithmetic duality theorems and algebraic bands, highlighting the difficulties which appear in positive characteristic. 

15h-15h30 : Les vecteurs localement analytiques dans la cohomologie complétée des variétés modulaires de Hilbert (Yuanyang Jiang)

Résumé : La conjecture de Clozel-Fontaine-Langlands-Mazur prédit qu'une représentation galoisienne géométrique d'un corps de nombres doit provenir d'une forme automorphe. Nous prouvons cette conjecture dans le cas où le corps est totalement réel, sous l'hypothèse que la représentation est de poids parallèles, et qu'elle apparaît dans la cohomologie complétée des variétés modulaires de Hilbert. Notre approche combine une généralisation des travaux de Lue Pan au cas des courbes modulaires, ainsi qu'une correspondance de Jacquet-Langlands géométrique p-adique. 

15h30-16h : pause 

16h-16h30: à paraître (Hari Sudarsan) 

16h30-17h: à paraître (Qixiang Wang)

17h-17h30: à paraître (Vanja Zuliani)