14h00-14h20 : Algèbres de Lie de champs de vecteurs de contact pour les espaces de jets (Romain Crétier)

Résumé : A la fin du XIXe siècle, Lie a classifié les algèbres de Lie de champs de vecteurs de dimension finie qui préservent la distribution associée à la forme de contact de l'espace des jets d'ordre 1 d'une variable complexe. Ce n'est qu'un siècle plus tard que la classification pour le cas d'une variable réelle a été établie par Doubrov-Komrakov, à l'aide des travaux de Tanaka. Le cas d'un nombre de variables ou d'un ordre de jets plus grand ne semble pas avoir été traité.

Dans cet exposé, après avoir présenté comment l'on peut algébriser notre problème à partir de l'extension de Tanaka associée à notre distribution de contact afin d'obtenir des approximations des solutions au problème, j'expliquerai avec un exemple un moyen de retrouver les solutions à partir de ces approximations. Je pointerai également quelques différences qui apparaissent entre le cas d'une seule variable et le cas multi-variables.

14h30-14h50 : Solubilité locale pour des variétés en famille (Mathieu Da Silva)

Résumé : Dans les années 90, Serre a initié un programme de recherche visant à comprendre avec quelle probabilité une équation choisie uniformément au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Il obtient, entre autres, que 0 \% des coniques diagonales du plan possèdent un point rationnel.  

Loughran—Smeets (2016) puis Loughran—Rome—Sofos (2023) ont récemment généralisé les résultats de Serre et ont proposé une conjecture quantitative prédisant le nombre de fibres de hauteur bornée et admettant des solutions partout localement, d'un morphisme dominant \pi : V \to \P^n, où V est une variété lisse sur un corps de nombre. 

Dans cet exposé, après avoir présenté la conjecture ainsi que les quelques cas déjà connus, j'expliquerai comment établir que l'ordre de grandeur prédit par Loughran—Smeets est le bon dans le cas des fibrations de base \P^1_\Q. La démonstration repose sur des techniques de crible issues de la théorie analytique des nombres ainsi que sur de la géométrie des nombres.

15h-15h20 : Brauer-Manin Obstructions for Homogeneous Spaces (Azur Ðonlagić)

Abstract : In this talk, we define the different kinds of Brauer-Manin obstructions in a form well-suited for the study of rational points on homogeneous spaces of affine algebraic groups over global fields. We state the main questions considered in this theory and give an account of some developments, including the speaker's recent work.

Finally, we present (very briefly) the main tools and ideas used in this theory, such as arithmetic duality theorems and algebraic bands, highlighting the difficulties which appear in positive characteristic. 

15h30-16h : pause 

16h-16h20 : Les vecteurs localement analytiques dans la cohomologie complétée des variétés modulaires de Hilbert (Yuanyang Jiang)

Résumé : La conjecture de Clozel-Fontaine-Langlands-Mazur prédit qu'une représentation galoisienne géométrique d'un corps de nombres doit provenir d'une forme automorphe. Nous prouvons cette conjecture dans le cas où le corps est totalement réel, sous l'hypothèse que la représentation est de poids parallèles, et qu'elle apparaît dans la cohomologie complétée des variétés modulaires de Hilbert. Notre approche combine une généralisation des travaux de Lue Pan au cas des courbes modulaires, ainsi qu'une correspondance de Jacquet-Langlands géométrique p-adique. 

16h30-16h50 : Motivic Vorst's Conjecture (Hari Sudarsan) 

Abstract: Algebraic K-theory is a “universal” cohomology theory for rings, which associates to any ring A a family of invariants $K_n(A)$, for all integers n, called the K-groups of A. These invariants encode information of an algebraic, geometric, or topological nature about the ring in question. Vorst’s Conjecture is a conjecture on algebraic K-theory from 1979 that states that studying these K-groups of a ring should help us detect whether it is regular. This conjecture was proved in characteristic zero in 2007; a weak version in finite characteristic was proved in 2018; in general it remains open. 

The newer definition of motivic cohomology of equicharacteristic schemes introduced by Elmanto-Morrow in 2023 gets rid of the smoothness hypothesis used in older definitions. These motivic cohomology groups refine the algebraic K-groups via the Atiyah-Hirzebruch spectral sequence, or motivic spectral sequence. The goal of my project has been to to study the properties of this newer definition of motivic cohomology, to then formulate and prove an analogue of Vorst’s conjecture using motivic cohomology in place of algebraic K-theory. 

17h-17h20 : Beauville–Laszlo Gluing for Torsors under Loop Groups (Qixiang Wang)

Abstract : The Beauville–Laszlo theorem tells us how to glue certain sheaves—like G-torsors for a smooth affine group scheme G—from data on the formal neighborhood of a divisor and its complement along the “tubular neighbor hood”. Even though it doesn’t come from a standard descent situation, it turns out to be surprisingly useful, for example, in areas like the geometric Langlands program.

In this talk, I’ll describe a version of the Beauville–Laszlo theorem concerning torsors under loop group—an ind-group scheme that shows up all over representation theory. Both this variant and the original Beauville–Laszlo theorem would fall out naturally(e.g it really is a descent result) in view of the analytic geometry developed by Clausen and Scholze. This talk is also meant as a small advertisement for elementary condensed mathematics.

17h30-17h50 : Fixed loci of antisymplectic involutions on hyperkahler varieties (Vanja Zuliani) 

Abstract : We will give examples of antisymplectic involutions on moduli spaces of sheaves on a K3 surface, such moduli spaces are hyperkahler varieties. By results of Flapan, Macrì, O’Grady, Saccà we know that in some cases the fixed loci of antisymplectic involutions are Fano varieties. The goal of the talk is to give an idea of the techniques used to study the geometry of such Fano varieties.