2.4 Orientations
On rappelle qu'une orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie strictement positive est une classe d'équivalence de bases pour la relation qui lie deux bases si le déterminant de l'une dans l'autre est positif. Par convention, une orientation de l'espace vectoriel de dimension zéro est un signe ou . Chaque espace vectoriel de dimension finie possède exactement deux orientations. Par définition, un endomorphisme préserve l'orientation s'il envoie une base sur une base équivalente. Cette notion est indépendante du choix d'une orientation. Par définition, un difféomorphisme entre ouverts connexes d'un espace affine préserve l'orientation si sa différentielle (en un point quelconque) préserve l'orientation.
Toute variété orientable correspond à exactement deux variétés orientées.
En chaque point d'une variété orientée , l'espace tangent est orienté. En effet, la construction de la structure différentiable du fibré tangent montre que chaque carte dont le domaine contient fournit une identification entre et . Ce dernier possède une orientation canonique et la définition d'atlas orienté montre que l'orientation qu'elle induit sur ne dépend pas du choix de carte. On dit qu'une orientation de induit une orientation du fibré tangent . Il ne faut pas confondre cette notion d'orientation d'un fibré vectoriel, sous-entendu fibre à fibre, avec celle de l'espace total du fibré. En fait on montre facilement que l'espace total d'un fibré tangent est toujours orientable (les changements de cartes de la démonstration du théorème 2.8 préservent l'orientation).
En tout point d'une sous-variété de , on peut considérer les trois espaces vectoriels , et le quotient . Tout choix d'orientation de deux d'entre eux fixe une unique orientation du troisième en imposant qu'un relevé d'une base directe de suivi d'une base directe de fournisse une base directe de . On en déduit par exemple qu'une sous-variété d'une variété orientable est orientable si et seulement si son fibré normal est orientable (fibre à fibre). Lorsqu'on fixe une orientation de et de , on munit toujours de l'orientation correspondante.