Soit une fonction de Morse sur une variété . La proposition 5.4 fournit une carte de Morse au voisinage de chaque point critique de . Chacune de ces cartes est livrée avec son pseudo-gradient standard qui n'est autre que le gradient euclidien de la fonction quadratique représentant . Au voisinage de tout point régulier, est une submersion donc la forme normale de la démonstration de la proposition 1.7 fournit une carte dans laquelle devient . Dans une telle carte, est un pseudo-gradient de . On rassemble les cartes avec suffisamment de cartes pour obtenir un atlas localement fini de . Quitte à en rétrécir un peu les cartes, on peut supposer que chaque n'est contenu que dans la carte , à l'exclusion de toute carte ou . On recolle alors les pseudo-gradients décrits ci-dessus à l'aide d'une partition de l'unité. Loin des points critiques, la condition de pseudo-gradient est définie par une inégalité linéaire ponctuelle. Près des points critiques une seule des fonctions cloches n'est pas nulle donc cette fonction vaut un et le pseudo-gradient modèle est préservé.

Si est un point critique de alors et la conclusion est évidente. On suppose donc que n'est pas un point critique. L'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz assure qu'aucun n'est un point critique. On pose . Sa dérivée est qui est partout strictement négative. Par compacité de , la fonction et donc la fonction sont bornées. Ainsi admet une limite quand tend vers . Sur tout compact de ne contenant pas de point critique, est majorée par une constante strictement négative. Ainsi ne reste dans aucun de ces compacts. De plus n'a qu'un nombre fini de points critiques donc il existe une suite tendant vers telle que converge vers un point critique avec . Pour assez grand, est dans une carte de Morse autour de adaptée à . Dans cette carte d'image , pour un certain , devient et . On remarque que l'inégalité venant de la discussion de ci-dessus. Ainsi reste dans pour . Or la formule du flot montre que cela n'est possible que si est de la forme . On voit alors que converge vers . Le même raisonnement appliqué à montre l'assertion concernant la limite pour tendant vers .

Si est d'indice zéro, le modèle imposé dans une carte centrée en devient et . Soit une fonction plateau qui vaut sur un voisinage de , s'annule au-delà de et vérifie partout. On pose . Si est assez petit, est à support dans la carte de Morse donc s'étend en homotopie globale. De plus ne s'annule qu'en l'origine car . Hors de l'origine . Près de l'origine . Ainsi on a bien une homotopie parmi les fonctions de Morse admettant comme pseudo-gradient.

Le cas où est d'indice demande aussi un traitement spécial et ne sera pas utilisé dans le suite, on le laisse donc en exercice.

On suppose maintenant que l'indice de est strictement compris entre et . On note un voisinage arbitrairement petit de en dehors duquel on ne doit rien changer. Quitte à le rétrécir on peut supposer qu'il ne contient pas d'autre point critique que . Dans une carte de Morse adaptée à autour de , devient la fonction définie sur un voisinage de l'origine dans qui envoie sur et devient . On considère, pour tout , le fermé

qu'on appelle modèle de Morse standard d'indice et de taille . La famille des est invariante par homothétie centrée en l'origine et chacun d'entre eux est compact. Ainsi, pour assez petit, est contenu dans la carte de Morse considérée et dans .

Dans ce modèle devient et la variété stable devient . Le modèle est une « variété à coins » : sa frontière topologique est constituée d'une partie dite horizontale formée de et , et d'une partie dite verticale . Les parties horizontales sont des hypersurfaces à bord lisse dans leurs niveaux respectifs. De plus est un voisinage tubulaire de la sphère dans . Ce voisinage tubulaire est un fibré trivial contenu dans un voisinage arbitrairement petit de la sphère si est suffisamment petit. La partie verticale est la réunion des trajectoires de allant de à . L'intersection est difféomorphe à et ces deux produits de sphères forment le lieu des coins de . Toutes ces propriétés se vérifient directement car tout est explicite dans le modèle, y compris le flot de .

On va maintenant étendre le modèle le long du disque . Quitte à diminuer , toutes les trajectoires de issues de atteignent le niveau puisque celles issues de le font. On note la réunion de ces trajectoires, arrêtées lorsqu'elles atteignent . Il s'agit d'un compact contenant et la partie de située hors de . On pose .

Dans , ne s'annule pas. Donc il existe une fonction partout strictement positive qui coïncide avec sur un voisinage de et vaut hors de . On remplace par . Ce nouveau champ de vecteurs est pseudo-gradient pour les mêmes fonctions et a les mêmes variétés stables et instables, on le note donc . On a gagné sur . Ainsi le flot de vérifie tant que reste dans . En particulier chaque est un voisinage tubulaire de dans .

La frontière de admet une description entièrement analogue à celle de et on emploie des notations analogues. En particulier est la réunion des trajectoires de reliant à . On fixe un voisinage tubulaire de dans le niveau . On pose . Quitte à rétrécir l'intervalle , le flot de restreint à fournit un voisinage tubulaire dans lequel devient et devient . On considère vu comme voisinage collier de dans .

On observe que les lignes de niveau de dans sont les hypersurfaces . L'idée clef consiste à modifier ces lignes de niveaux dans l'intérieur de parmi les hypersurfaces transversales à . Les lignes de niveau d'origine peuvent s'écrire où est dans et est le graphe de valant identiquement . De plus toutes les lignes de niveau intersectant passent par sous la forme d'une hypersurface pour un unique . Ainsi on peut spécifier une homotopie en gardant hors de , en remplaçant les par des graphes de sorte que la nouvelle famille d'hypersurfaces coïncide avec l'ancienne près du bord de . Les valeurs de chaque nouvelle fonction dans sont dictées par celles de hors de et reste transversal aux lignes de niveaux donc pseudo-gradient.

On choisit pour le graphe de où et sont deux fonctions plateau qui s'annulent au voisinage de , vaut au voisinage de tandis que vaut dès que dépasse . Pour , la ligne de niveau devient raccordée à l'ancienne ligne de niveau critique donc à comme souhaité.

Comme est une valeur régulière de , est une hypersurface lisse de au voisinage de laquelle ne s'annule pas. On peut donc remplacer par sans changer et assurer ainsi que, toujours au voisinage de , le flot de vérifie . La restriction de ce flot , , fournit un voisinage tubulaire de dans lequel devient , devient et devient .

Soit une fonction qui s'annule pour et vaut un à partir de . Soit le difféomorphisme de qui envoie sur . On pose . Comme commute à la projection de sur , la composante sur de vaut toujours et est un pseudo-gradient adapté à . Sa variété instable rencontre le voisinage tubulaire le long de dont l'intersection avec est bien .

Pour contrôler le support de l'homotopie, il suffit de réduire .