4.4 Théorie de l'intersection
Soit une variété orientée et une sous-variété orientée compacte sans bord de . Soit une variété orientée compacte sans bord et . On suppose que et que est transversale sur . En particulier est un sous-ensemble fini de . Pour chaque dans cet ensemble, on a un isomorphisme où est la projection de la restriction de à sur . Comme et sont orientées, l'espace vectoriel est orienté. On pose selon que préserve ou renverse l'orientation. Encore plus concrètement, si l'image par d'une base directe de suivie d'une base directe de donne une base directe de et sinon. Le nombre d'intersection global de sur est la somme de ces contributions locales :
On note immédiatement que change de signe si on change l'orientation d'un nombre impair de variétés parmi , et .
Le nombre d'intersection est invariant par homotopie: si et sont deux applications de dans transversales sur et homotopes alors .
En particulier, on peut définir pour une application non transversale sur , comme pour n'importe quel homotope à et transversale sur fournie par le théorème 4.9.
Le point crucial est que le nombre d'intersection est nul pour toute application qui s'étend à une variété compacte dont le bord est :
Si et sont transversales alors la valeur absolue de est majorée par le nombre de points de mais, au contraire de ce dernier, est invariant par isotopie de ou .
On rappelle que, dans le démonstration du théorème 2.8, à partir d'un atlas pour ayant des changements de cartes , on a construit un atlas pour ayant pour changements de cartes les allant de dans lui-même. La différentielle d'un tel changement de carte est triangulaire supérieure avec deux blocs sur la diagonale donc elle préserve l'orientation. Or est muni d'une orientation canonique, celle pour laquelle la concaténation de deux fois la même base donne une base directe. Ainsi on récupère une orientation canonique sur l'espace total .
Dans la définition ci-dessus, est muni de son orientation canonique. Le choix d'une orientation sur n'importe pas car elle intervient deux fois dans la définition.
Ainsi, pour toute valeur régulière de , le degré de est le nombre de préimages de comptées positivement (resp. négativement) là où préserve (resp. renverse) l'orientation. Cependant il n'est pas complètement clair que ce nombre soit indépendant du choix de .
Soit et deux points de . Le théorème de transversalité permet de perturber pour la rendre transversale sur et .
Le point clef est alors qu'il existe une homotopie de difféomorphismes de entre l'identité et une difféomorphisme envoyant sur . En effet, si on fixe , l'ensemble des pour lesquels l'affirmation est vraie est ouvert et fermé (il suffit de démontrer l'affirmation lorsque est un cube dans ) et est supposée connexe. Par continuité de par rapport à , tous les , et en particulier , préservent l'orientation.
Le théorème 4.10 d'invariance par homotopie donne . Mais ce dernier n'est autre que . En effet, et, pour un tel , préserve l'orientation si et seulement si le fait.
L'invariance des nombres d'intersection par homotopie entraîne immédiatement l'invariance du degré par homotopie.