Nous nous intéressons à la régularité des solutions d'équations linéaires paraboliques posées dans un domaine qui dépend de la variable temporelle. En particulier, nous étudions la continuité dans l'espace de régularité maximale, par rapport à une déformation du domaine. Pour la résolution théorique, nous utilisons un difféomorphisme spatial du domaine vers un domaine cylindrique, ce qui engendre une EDP parabolique avec des opérateurs dépendants du temps. Nous nous appuyons sur des estimations précises de la constante de régularité maximale pour les opérateurs non-autonomes relativement continus. Le caractère bien posé de l'équation par rapport à une variation du domaine dans une topologie particulière reliée aux difféomorphismes spatiaux est obtenu.