En Relativité Générale, la métrique sur l'espace-temps est solution d'une EDP géométrique, l'équation d'Einstein. Les espaces-temps spatialement homogènes sont des modèles d'univers, pour lesquels l'équation d'Einstein se réduit à un système d'équations différentielles (=un champ de vecteurs) sur une variété de dimension finie. Je présenterai ce champ de vecteurs, puis expliquerai comment l'étudier. Nous verrons que sa dynamique est étonnamment riche et complexe. Notamment, beaucoup d'orbites ont un mauvais comportement statistique (non-convergence des moyennes de Birkhoff), ce qu'on peut traduire en termes de comportement de la courbure des espaces-temps quand on s'approche de leur singularité initiale. Une partie des résultats est issue de la thèse de Tom Dutilleul.