Le flot géodésique pour la métrique de Teichmüller sur l’espace de modules des courbes induit une action du groupe SL(2,R) sur l’espace de modules des surfaces de translation. Je discuterai de la dynamique du flot horocylique correspondant à l’action du sous-groupe des matrices triangulaires supérieures avec valeur propre 1. Par analogie avec la théorie de Ratner sur la dynamique des flots unipotents dans les espaces homogènes, il est naturel de se demander si les adhérences d’orbites et les mesures invariantes correspondant à cette action admettent une classification. Je présenterai des résultats positifs allant dans cette direction et j’expliquerai en particulier comment certains arguments de dynamique homogène dus à Ratner, Dani et Margulis peuvent être adaptés à ce cadre géométrique. Il s’agit de résultats en collaboration avec J. Chaika et B. Weiss.