On dit que deux groupes sont orbitalement équivalents si tous deux agissent sur un même espace de probabilité en partageant les mêmes orbites. Un célèbre résultat d’Ornstein et Weiss stipule que tout groupe moyennable infini, de type fini est orbitalement équivalent à Z. Autrement dit : l’équivalence orbitale ne tient pas compte de la géométrie des groupes.

Dans un récent article Delabie, Koivisto, Le Maître et Tessera proposent d’affiner cette relation avec une version quantitative de l’équivalence orbitale. Ils obtiennent en outre des obstructions à l’existence de telles équivalences à l’aide d’informations géométriques, telles que la croissance des groupes ou le profil isopérimétrique.

C’est sur ces liens entre géométrie et dynamique que nous insisterons dans cet exposé. Nous nous intéresserons notamment au problème inverse de la quantification, à savoir : trouver un groupe qui est orbitalement équivalent à un groupe prescrit avec quantification prescrite. On étudiera aussi l’optimalité de ces équivalences prescrites.