Les groupes de Heisenberg et Engel sont des prototypes de groupes de Carnot de rang 2 et 3 respectivement. Nous commencerons par analyser le sous-laplacien sur ces groupes, qui est relié via la transformée de Fourier aux oscillateurs quadratiques et quartiques. L'analyse spectrale de ces opérateurs permet d'obtenir des estimations sur les noyaux de convolution d'opérateurs de type F(−Δ), et ainsi de retrouver des résultats classiques d'injections entre espaces fonctionnels, et des estimées sur des propagateurs via l'analyse de Fourier. Nous montrerons également des résultats de dispersion et des estimées de Strichartz pour l'opérateur de Schrödinger sur ces groupes.

Il s'agit de travaux en collaboration avec Hajer Bahouri, Davide Barilari et Matthieu Léautaud.