Thèse Analyse numérique et EDP

Influence de la structure fractale de l'ensemble capté sur les résonances de scattering

05
April 2023
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Intervenant : VACOSSIN Lucas
Directeur : NONNENMACHER Stéphane
Heure : 15h00
Lieu : Amphithéâtre Yoccoz

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux résonances dites de scattering, qui jouent un rôle fondamental dans l'étude de l'équation des ondes à l'extérieur d'obstacles. Nous tâcherons de comprendre certains aspects de la répartition de ces résonances, plus particulièrement en dimension d=2 et l'on s'intéresse à des obstacles à frontière lisse, strictement convexes qui vérifient une condition de non-eclipse. Nous établissons l'existence d'une région sans résonance sous l'axe réel - on parle de trou spectral - et améliorons des bornes supérieures pour le comptage de résonances dans des boîtes. Ces résultats font intervenir de façon cruciale la structure fractale de l'ensemble capté du flot du billard. Ces travaux sont dans la lignée des récentes avancées obtenues dans l'étude des résonances des surfaces hyperboliques convexes co-compactes.
L'outil fondamental pour l'obtention du trou spectral est un Principe d'Incertitude Fractal, récemment développé par S. Dyatlov et J. Bourgain, notamment.
Nous obtenons aussi des résultats similaires dans l'étude des résonances de l'opérateur semiclassique -h^2 Delta + V où V est un potentiel lisse à support compact. En fait, l'étude du problème des obstacles se fait naturellement à haute fréquence et permet d'utiliser les outils de l'analyse semiclassique. Les méthodes utilisées dans le cas des obstacles se généralisent alors aux opérateurs semiclassiques -h^2 Delta +V grâce à deux articles de S. Nonnenmacher, J. Sjöstrand et M. Zworski.

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