Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité des solutions des systèmes Hamiltoniens presque intégrables (au sens d'Arnold-Liouville).

Le premier axe porte sur la généricité de la propriété d'escarpement (steepness), une condition de transversalité sur le gradient, due à Nekhoroshev, qui assure la stabilité sur des temps très longs des solutions d'un système presque-intégrable suffisamment régulier. L'objectif dans cette partie est double : il s'agit d'une part de clarifier les méthodes de géométrie algébrique réelle et d'analyse complexe qui permettent de prouver la généricité de la propriété d'escarpement et, d'autre part, d'utiliser ces méthodes pour établir des critères explicites qui entraînent l'escarpement d'une fonction donnée, ce qui constitue un aspect important dans les applications de la théorie.

Dans le deuxième axe de cette thèse, on développe une version adaptée d'arguments classiques d'approximation analytique, qui permet de généraliser à la classe de régularité Hölder les estimations de stabilité de Nekhoroshev initialement valides pour des systèmes Hamitoniens presque intégrables analytiques. Une fois qu'une approximation analytique adaptée est construite, les estimations sont déduites de manière relativement rapide : de plus, cette technique permet d'étendre à une régularité plus faible les estimations de stabilité les plus fines prouvées en classe analytique.

Enfin, on s'intéresse au problème de la stabilité en temps infini des systèmes Hamiltoniens presque-intégrables analytiques : il s'agit de généraliser les résultats fins sur la mesure des tores invariants obtenus avec la théorie KAM - prouvés pour une classe générique de systèmes mécaniques - au cas de systèmes associés à des Hamiltoniens plus généraux.