Cette thèse s'articule autour de l'équation de Schrödinger, dans le cas avec non-linéarité cubique ainsi que dans le cas linéaire avec un potentiel.

Le premier travail, dans le cas cubique en dimension 1, permet la construction d'une nouvelle classe de solutions à régularité limite par rapport au changement d'échelle laissant l'équation invariante, c'est à dire dans les espaces $mathcal F(L^infty)$ et dans $dot H^s$ pour tout $s<-frac 12$. Ce travail est motivé par l'étude des tourbillons filamentaires dont la dynamique est modélisée par le flot binormal.

C'est en s'appuyant sur la transformation de Hasimoto (permettant de relier directement les solutions de Schrödinger à celles du flot binormal) que dans un deuxième travail, il a été établi une nouvelle preuve de la formation de singularités pour les tourbillons, plus simple que les précédentes sous réserve de satisfaire des hypothèses plus fortes.

Enfin, pour le cas linéaire, nous présentons les premiers éléments qui permettront d'obtenir une estimation de dispersion en présence d'un potentiel $V=-frac a{|x|^2}$ en dimension plus grande que $3$, en s'appuyant sur des arguments dus à Ginibre ensuite adaptés dans les espaces de Lorentz.