La constante de Lagrange L(x) d'un irrationnel x est un réel positif qui mesure la qualité d'approximation de x par des rationnels. Si on préfère, c'est une mesure de la "vitesse" à laquelle les directions de vecteurs entiers approchent la direction d'une droite de pente x.
Le spectre de Lagrange est l'ensemble des constantes de Lagrange des irrationnels.
Comme les vecteurs entiers correspondent aux géodésiques fermées du tore R^2 / Z^2, une variante consiste à approcher la direction d'une droite de pente x par les directions des vecteurs associés aux géodésiques fermées sur une surface de translation.
Cette variante des constantes de Lagrange et du spectre de Lagrange a été introduite par Pascal Hubert, Luca Marchese et Corinna Ulcigrai.
Ces trois auteurs et moi-même avons étudié le bas de ce spectre pour deux exemples de surfaces à petits carreaux. Nos résultats, parus en 2018, ont ensuite été étendus par Carlos Matheus.
Cet exposé présentera quelques aspects de ces travaux.