L'apport principal de cette thèse est l'élaboration d'une nouvelle méthode d'équivalence, algorithmique, en partie inspirée de celle d'Elie Cartan, et applicable aux groupes de Lie de dimensions finie ou infinie.
Ses résultats techniques reposent sur plusieurs centaines de fichiers de calculs réalisés à l'aide du logiciel de calcul formel Maple.
Le mémoire se compose de 7 chapitres, dont 6 sont consacrés à des problèmes de classification, et 1 à une forme normale "à la Moser".

(1) Une classification des hypersurfaces $H^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ affinement homogènes de Hessienne de rang 1 en dimensions $n=2,3,4$.
On détermine toutes les hypersurfaces $H^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ à l'aide de la méthode d'équivalence des séries entières, qui capture les invariants à l'origine, qui crée des branches, et qui infinitésimalise les calculs.
On trouve 6 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes.

(2) Une (autre) classification des surfaces $S^2\subset\mathbb{C}^3$ affinement homogènes.
En utilisant la même méthode, on détermine toutes les surfaces homogènes $S^2\subset\mathbb{C}^3$, qui capture les invariants à l'origine, qui crée des branches, et qui
infinitésimalise les calculs.
On trouve 12 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes.

(3) Une classification des surfaces $S^2\subset\mathbb{R}^4$ affinement homogènes.
Avec la même méthode, on détermine toutes les surfaces $S^2\subset\mathbb{R}^4$ qui sont affinement homogènes.
On trouve 103 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes de surfaces $S^2\subset\mathbb{R}^4$, dont certaines sont paramétrées par des variétés algébriques réelles, notamment dans le cas simplement transitif.

(4) Une classification des hypersurfaces $S^3\subset\mathbb{R}^4$ affinement homogènes de Hessienne de rang 2.
En appliquant toujours la même méthode, on trouve 34 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes de surfaces $S^3\subset\mathbb{R}^4$ à matrice hessienne de rang 2.
A nouveau, les modèles simplement transitifs sont souvent paramétrés par des variétés algébriques réelles.

(5) Une forme normale locale pour les équations différentielles ordinaires du $2^{\text{nd}}$ ordre sous l'action de transformations préservant la fibre.
On étudie le problème d'équivalence des équations différentielles ordinaires du second ordre analytiques réelles $y_{xx}=J(x,y,y_{x})$ modulo les transformations ponctuelles préservant les fibres $x\longmapsto \varphi(x)$, $y\longmapsto \psi(x,y)$ en utilisant la méthode des formes normales de Moser.

(6) Une (autre) classification des équations différentielles ordinaires du $2^{\text{nd}}$ ordre homogènes sous l'action de transformations préservant la fibre.
On détermine toutes les équations différentielles ordinaires du $2^{\text{nd}}$ ordre sous l'action de transformations préservant la fibre à l'aide de la méthode d'équivalence des séries entières. Dans ce contexte délicat, le groupe d'ambiguïté est de dimension infinie.
On trouve 7 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes, qui peuvent être paramétrées par une certaine variété algébrique.

(7) Une classification des EDP du $2^{\text{nd}}$ ordre de dimension 5 homogènes sous l'action de transformations préservant la fibre.
Toujours avec une adaptation de la méthode d'équivalence des séries entières au contexte de la dimension infinie, on trouve 24 branches terminales fournissant des (familles de) modèles homogènes multiplement transitifs.