L’homologie persistante est un objet central de l'analyse topologique des données, un domaine centré sur l’extraction d’information topologique à partir des données pour faciliter leur analyse. Représentée par des diagrammes de persistance, elle fournit une fonctionnelle capturant une information multi-échelle riche et complémentaire aux autres fonctionnelles usuellement considérées. En présence d’aléa ou de bruit dans les données, typiquement lorsqu’on observe un signal bruité ou un nuage de points échantillonnés selon une densité de probabilité, se pose naturellement la question de l’inférence de ces diagrammes de persistance. L’essentiel des développements autour de cette question propose des estimateurs plug-in exploitant les propriétés de stabilité en norme (en particulier en norme sup). Une limitation importante de cette approche est qu’elle suppose être capable d’estimer complètement le signal ou la densité sous-jacente aux données, une tâche particulièrement difficile pour des signaux ou densités présentant des irrégularités.

Dans cette thèse, on développe des stratégies alternatives, basées sur une notion plus faible de stabilité et l’étude de la géométrie des signaux ou densités. L’analyse de ces nouvelles stratégies nous permet de fournir des garanties de convergence, sur de larges classes de signaux ou de densités irréguliers où estimer le signal ou la densité est hors de portée.

Les résultats obtenus illustrent à la fois l'intérêt de ce changement de paradigme et la pertinence des diagrammes de persistance comme descripteurs synthétiques des données en présence d'irrégularités. De plus, les méthodes développées trouvent des applications pour deux problèmes classiques de statistique non-paramétrique : l’inférence de modes multiples et la détection de sauts multivariés.