Cette thèse étudie divers problèmes d'équidistribution d'objets géométriques ou arithmétiques.

 

D'abord, nous nous intéressons aux \emph{orbites divergentes} d'un groupe localement compact. Dans une première étude, étant donné un corps local $\widehat{K}$ de caractéristique positive, les orbites divergentes du sous-groupe diagonal de ${\rm SL}_n(\widehat{K})$ sur des espaces de réseaux de $\widehat{K}^n$ sont caractérisées comme étant les orbites rationnelles, ce qui constitue une version pour corps de fonctions d'un résultat de Margulis (pour ${\rm SL}_n(\mathbb{R})$) et de Tomanov-Weiss (pour un groupe algébrique réductif sur $\mathbb{Q}$). En combinant cette caractérisation à la méthode entropique d'Einsiedler-Lindenstrauss, nous démontrons la convergence en moyenne d'une famille naturelle de ces orbites diagonales divergentes, donnant un analogue pour corps de fonctions d'un résultat de David-Shapira pour ${\rm SL}_n(\mathbb{R})$.

Dans une seconde étude, étant donné une variété riemannienne $M$ non compacte de volume fini à courbure négative, nous démontrons l'équidistribution (en moyenne quand leur complexité tend vers l'infini) des géodésiques divergentes vers la mesure d'entropie maximale sur le fibré tangent unitaire $T^1 M$. Nous donnons une version analogue pour le graphe quotient d'un arbre par un groupe discret géométriquement fini d'isométries. La démonstration utilise et adapte des méthode d'équidistribution des perpendiculaires communes en courbure négative de Parkkonen-Paulin.

 

Nous travaillons ensuite sur des raffinements de la notion d'équidistribution donnés par l'étude asymptotique de deux statistiques de paires~:~les \emph{corrélations de paires} et les \emph{écarts}. Pour tout paramètre $\alpha \in \; ]0,1[\;$, les corrélations de paires de puissances fractionnaires $n^\alpha$ pour $n$ variant dans $\mathbb{N}$ ou dans un réseau $\Lambda$ de $\mathbb{C}$ (en utilisant une définition standard de puissances fractionnaires dans le revêtement universel $\exp:S\to\mathbb{C}^*$ que l'on voit comme un hélicoïde de hauteur infini dans $\mathbb{R}^3$) sont démontrées converger vers une mesure, invariante par rotation dans le cas complexe, et qui admet une dérivée de Radon-Nikodym explicite par rapport à la mesure de Lebesgue. Dans les deux cas, un phénomène de répulsion de niveaux est observé pour le facteur d'échelle $N\mapsto N^{1-\alpha}$ ; il y a perte de masse totale pour les facteurs d'échelle plus grand ; et un comportement poissonien pour ceux qui sont plus petits. De plus, nous donnons un terme d'erreur dans cette convergence. Le calcul de cette asymptotique utilise des méthodes d'analyse élémentaires et de variantes du comptage de Gauss, en s'inspirant de la technique classique de dépliage.

 

Les écarts sont étudiés asymptotiquement dans le cadre de la suite des fractions de Farey complexes, i.e.~les fractions $\frac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers d'un corps de nombre quadratique imaginaire, avec $0<|q|\leq T$ et $T\to\infty$. Pour fixer la définition d'un écart, nous choisissons la distance au(x) plus proche(s) voisin(s). Après une traduction en dynamique homogène donné par la correspondance de Dani, nous suivons l'approche de Marklof pour les fractions de Farey réelles (à plusieurs variables) et nous adaptons un résultat d'équidistribution jointe dans l'espace hyperbolique en dimension $3$ de Parkkonen-Paulin pour démontrer l'existence d'une mesure de probabilité décrivant asymptotiquement ces écarts. On obtient une formule intégrale pour la fonction de répartition associée, et on utilise des arguments géométriques pour calculer un équivalent de la queue de distribution dans les cas particuliers des fractions de Gauss et d'Eisenstein.

 

Les théorèmes dans cette thèse sont illustrés par de très nombreux dessins et simulations numériques.