Le phénomène de cutoff a été introduit dans le travail fondateur de Diaconis et Shahshahani dans les années 1980 'DS81', où ils ont montré que la distance en variation totale entre la mesure uniforme et la marche aléatoire sur le groupe de permutations provenant de transpositions aléatoires présente une chute asymptotique brutale, passant d'un voisinage de 1 à un voisinage de 0, à un temps déterminé. Leur approche, basée sur la théorie des représentations, a inspiré de nombreuses études explorant le cutoff pour divers processus stochastiques, même au-delà des structures analogues à des groupes. Un tel phénomène s'étend naturellement aux processus de Lévy, qui sont les objets d'étude de cette thèse et constituent l'analogue continu des marches aléatoires : un processus de Lévy est un semi-groupe de convolution de mesures de probabilité, à trajectoires continues à droite.

Cela a mené au développement des profiles limites, qui affinent cette analyse en décrivant la forme de la fenêtre de transition brutale. Notamment, le travail 'FTW21' s'appuie sur la théorie des représentations des groupes quantiques compacts pour calculer le profile limite du mouvement brownien sur le groupe quantique orthogonal O_N^+.

Cette thèse s'inscrit dans cette lignée en construisant et en étudiant des processus de Lévy sur divers groupes quantiques compacts, avec une attention particulière portée au groupe quantique unitaire U_N^+. En plus de la perte d'absolue continuité (phénomène général dans le cadre quantique), U_N^+ présente des difficultés supplémentaires dues à la non-commutativité de son algèbre centrale, contrairement au cas commutatif de O_N^+ ou de S_N^+. Ces différences structurelles compliquent l'analyse de la distance en variation totale. L’objectif principal de ce travail est donc de définir de manière satisfaisante un mouvement brownien sur U_N^+ et d’en étudier le profile limite.

Au-delà de cela, la thèse vise à construire d'autres processus de Lévy sur des groupes quantiques (comme le mouvement brownien sur H_N^{s+}, dont l'algèbre centrale est également non-commutative), en calculant leur profile limite dans chaque cas. Nous répondons également à d'autres questions, comme la non-unicité des profiles limites, et clarifions comment les distinguer rigoureusement.