Cette thèse porte sur la théorie des D-modules en géométrie algébrique dérivée, sur un corps de caractéristique 0.

La théorie des D-modules classiques a déjà été étendue au cadre dérivé en considérant les faisceaux sur le champ de de Rham, tel qu’étudié par Gaitsgory et Rozenblyum. Cette extension présente un inconvénient, car le champ de de Rham n’est pas sensible à la structure dérivée sur le champ de base. Pour cette raison, plusieurs nouvelles définitions de D-modules sur des schémas dérivés qui se souviennent de la structure dérivée ont été proposées par B. Toën et G. Vezzosi, D. Beraldo et J. Nuiten. Elles coïncident avec la définition classique sur un schéma lisse, mais elles sont en général différentes lorsque le schéma de base est singulier ou a une structure dérivée non triviale. Le résultat principal de ce travail est l’équivalence monoïdale symétrique, qui était conjecturale jusqu’à présent, de ces trois ∞-catégories de D-modules dérivés sur des schémas affines dérivés satisfaisant certaines conditions de finitude.

L’idée clé est d’utiliser la théorie des dg-algébroïdes de Lie, telle qu’elle a été développée par G. Vezzosi et J. Nuiten, pour construire un ∞-foncteur du complexe filtré complet de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg d’un dg-algébroïde de Lie, qui affine la version classique non filtrée et, dans le cas des algèbres de Lie, produit un objet équivalent au complexe de Chevalley-Eilenberg gradué mixte, précédemment défini par E. Pavia.

En imposant certaines conditions de finitude, nous sommes en mesure de prouver que cette version de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg est pleinement fidèle, donnant une réponse positive à une conjecture d’E. Pavia. Ce résultat sur la cohomologie d’un dg-algébroïde de Lie peut être d’un intérêt indépendant. En corollaire, nous obtenons l’équivalence entre deux des trois définitions.

Pour pouvoir conclure que les trois définitions sont équivalentes, en tant que ∞-catégories monoïdales symétriques, nous prouvons une extension monoïdale symétrique d’un résultat de J. Nuiten, qui identifie les représentations d’un dg-algébroïde de Lie avec une sous-catégorie pleine de faisceaux ind-cohérents sur un certain champ.

Dans le premier chapitre, nous introduisons et rappelons diverses constructions dont nous aurons besoin par la suite, comme les objets hom enrichis, les modules parfaits et presque parfaits, les faisceaux ind-cohérents et pro-cohérents, ainsi que les objets filtrés et gradués.

Nous expliquons ensuite les trois définitions différentes des D-modules dérivés, en passant par les dg-algébroïdes de Lie et les problèmes de modules formels.

Dans le dernier chapitre, nous mettons tout ensemble, construisons le foncteur de cohomologie de Chevalley-Eilenberg filtré et prouvons sa pleine fidélité. Comme corollaire final, nous déduisons que toutes les trois définitions différentes des D-modules dérivés sont équivalentes sur un schéma affine dérivé borné.