• Où construire des écoles dans une ville dont on connaît la densité de population ?

• Comment correctement convertir un signal analogique en une suite finie de bits ?

• Où placer judicieusement \(N\) points pour approcher une intégrale par le somme finie des valeurs en ces points ?

Toutes ces problématiques sont intimement liées à la quantification optimale de mesures. Étant donné une densité de probabilité sur \(\mathbb R^d\) et un entier strictement positif \(N\), il s’agit d’approcher au mieux cette densité par un nuage de \(N\) points. Il faut bien entendu en premier lieu une façon de mesurer l’écart entre la densité et la mesure discrète, et nous verrons que la théorie du transport optimal induit une notion de distance particulièrement appropriée. Au fur et à mesure que le nombre \(N\) de points tend vers l’infini, l’erreur de quantification converge vers zéro, et se pose naturellement la question du taux de convergence asymptotique. En plus de donner le nombre de points nécessaire pour que l’erreur soit en dessous d’un certain seuil, cette vitesse de convergence intervient entre autres lorsqu’on étudie la Gamma-convergence de fonctionnelles discrétisées vers la fonctionnelle initiale correspondante. Dans cet exposé, il sera en particulier question du théorème de Zador, résultat phare de la quantification optimale, ainsi que de sa généralisation à des versions plus contraintes du problème, où on impose par exemple que les \(N\) points soient pondérés uniformément.

-------------------------------

• Where should schools be built in a city whose population density is known?

• How to appropriately convert an analog signal to a finite sequence of bits?

• Where should \(N\) points be placed in order to best approach an integral by the finite sum of the values at these points?

All these issues are intimately linked to the optimal quantization of measures. Given a probability density on \(\mathbb R^d\) and a (strictly) positive integer \(N\), the goal is to best approach this density by a cloud of \(N\) points. Of course, we first of all need a way to measure the discrepancy between the density and the discrete measure, and we will see that the theory of optimal transport induces a particularly suitable notion of distance. As the number \(N\) of points goes to infinity, the quantization error converges to zero, and the question of the asymptotical convergence rate naturally arises. In addition to giving the number of necessary points for the error to be below a certain threshold, this convergence speed occurs for instance when one studies the Gamma-convergence of discretized functionals to the initial corresponding functional. This presentation will focus on Zador’s theorem, which is a key result in optimal quantization, as well as on its generalization to more constrained versions of the problem, wherein the \(N\) points are for instance required to have uniforme weights.