Théorie ergodique, théorie du potentiel : étude d’extensions abéliennes

Je présenterai des travaux à l’intersection de deux traditions mathématiques : d’une part l’analyse spectrale des opérateurs de transfert en théorie ergodique, et d’autre par la théorie probabiliste du potentiel, qui porte sur les chaînes de Markov.

Les extensions abéliennes sont une généralisation, dans le cadre des systèmes dynamiques, des marches aléatoires. Les techniques développées pour les marches aléatoires se transposent parfois à ces extensions : le théorème central limite et le théorème central limite local en sont des exemples.

Nous présentons ici une transposition de la théorie probabiliste du potentiel, et plus précisément le calcul de probabilités d’atteintes entre parties éloignées d’un tel système dynamique.

Ce sujet est en outre l’occasion de découvrir diverses facettes de la théorie des systèmes dynamiques : théorèmes limites en loi pour des sommes de Birkhoff ; résonances de Ruelle pour des billards de Sinaï ; identité de balayage, invariants d’induction et formule de Green-Kubo ; ou encore temps d’atteinte de petites cibles et états métastables pour n’en citer que quelques-uns.