Dans cet exposé, nous considérons la résolution numérique de systèmes linéaires de la forme Ax=b. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux méthodes de Krylov, notamment à la méthode du gradient conjugué et à GMRES.

S’agissant de solveurs itératifs, deux aspects complémentaires sont étudiés : l’analyse de la convergence et son accélération. Ces deux aspects sont liés, car c’est l’analyse de convergence qui permet de déterminer les techniques d’accélération les plus adaptées.

Trois formes d’accélération sont considérées
• le choix du produit scalaire,
• le préconditionnement (le solveur est muni d’une approximation de l’inverse de A),
• la déflation (une partie bien identifiée du problème est précalculée à l’aide d’un solveur direct).

Au cours de cet exposé, j’introduirai un sous-ensemble des méthodes de Krylov et présenterai des résultats théoriques connus et nouveaux. Je proposerai aussi des choix de produit scalaire, de préconditionnement et d’espace de déflation qui permettent une résolution efficace du système linéaire.